Le tavole di verità

Stadio Azteca di Città del Messico, 22 giugno 1986, semifinale Argentina – Inghilterra dei Mondiali di calcio. Diego Armando Maradona, il Pibe de oro della nazionale argentina, sfruttò un errore dell’inglese Steve Hodge per affrontare il portiere Peter Shilton in un’azione che il cronista televisivo italiano Giorgio Martino descrisse così:

“Ecco ancora Maradona, splendida condizione di forma, va via ancora Maradona, cerca il dribbling breve, serve ancora Valdano [suo compagno] che si fa anticipare… ed è gol! Gol di Diego Armando Maradona che ha anticipato l’uscita di Shilton! Lo merita, Maradona! Quinto minuto del secondo tempo, protestano gli inglesi perche dicono che Maradona ha toccato la palla con la mano, ora rivediamo. Ecco l’azione, ecco Valdano che sembra aver sciupato tutto, e [Maradona] va con il pugno, va con il pugno ad appoggiare la testa. È pugno più che testa. È proprio questo pugno che Maradona tiene alzato”

Né l’arbitro tunisino Alì Bin Nasser né il suo assistente di linea bulgaro Bogdan Dotchev riuscirono a vedere l’azione dalla posizione in cui si trovavano, e il gol fu convalidato. Maradona, nell’intervista post-partita, disse che l’aveva segnato

un poco con la cabeza de Maradona y otro poco con la mano de Dios

ossia “un po’ con la testa di Maradona e un altro po’ con la mano di Dio“. Nella stessa partita, poco dopo, Maradona segnò di nuovo, regalando alla Storia un gol leggendario, conosciuto come il gol del secolo, e l’Argentina vinse prima la partita, con il punteggio di 2 – 1, e poi anche il torneo.

Fu un episodio clamoroso, ma non l’unico; e ogni volta, durante i dibattiti post-partita in TV, la moviola rivelava chiaramente quel che era successo. Proprio la moviola si rivelò la chiave per risolvere la questione una volta per tutte (o così si sperava!): fu un famoso giornalista sportivo italiano, Aldo Biscardi, a teorizzare per primo l’avvento della “moviola in campo”, ossia dell’uso della TV per la verifica immediata delle azioni dubbie. Fu una piccola rivoluzione, che quache decennio dopo fece nascere quel che oggi chiamiamo VAR, un arbitro a bordo campo che guarda la partita su una serie di schermi, può rivedere le azioni al rallentatore ed eventualmente segnalare le irregolarità all’arbitro, che a sua volta può usare egli stesso gli schermi in caso di necessità.

Però, ogni cosa ha un prezzo: con l’introduzione del VAR, e di altri metodi tecnologici e non per assistere l’arbitro nell’osservazione dell’andamento della partita, le regole si sono complicate. Perché, se prima della loro introduzione “Rigore è quando arbitro fischia”, come una volta dichiarò l’allenatore serbo Vujadin Boskov, ora può intervenire anche il VAR, o gli arbitri di porta, o la Goal Line Technology, che rileva automaticamente quando la palla entra in porta, e così via. Se ad esempio volessimo sintetizzare com’è cambiata la regola per l’assegnazione dei gol, e citassimo solo il VAR, potremmo dire così:

Se durante l’azione che ha portato a un gol si è verificato un fallo, ed è stato riscontrato dall’arbitro o rilevato dal VAR, il gol è nullo, altrimenti viene considerato valido.

Per funzionare, la regola deve valere sempre, ossia funzionare in tutte le situazioni possibili: se il fallo è stato visto solo dall’arbitro, o solo dal VAR, o da entrambi, se non c’è stato nessun fallo, e così via. La logica può aiutarci a capire se la regola funziona sempre?

Le tavole di verità

Quando si ha a che fare con enunciati complessi, composti da più enunciati elementari uniti da diversi connettori e magari anche ripetuti, calcolarne il valore di verità può diventare complicato. Prendiamo ad esempio questo enunciato:

Il ladro non è entrato né dalla finestra della camera da letto né dalla porta d’ingresso

Riscriviamolo in modo più esplicito:

Il ladro non è entrato dalla finestra della camera da letto e non è entrato dalla porta d’ingresso

Sicuramente si tratta di un enunciato composto: se indichiamo con $P$ l’enunciato elementare “Il ladro è entrato dalla finestra della camera da letto” e con $Q$ l’altro enunciato elementare “(il ladro) è entrato dalla porta d’ingresso”, possiamo riscrivere l’enunciato complessivo in simboli in questo modo:

\lnot P \land \lnot Q

Il valore di verità dell’enunciato dipende sicuramente da quelli di $P$ e $Q$ , e quindi, se li conoscessimo, potremmo calcolarlo facilmente; ma non sappiamo da dov’è entrato il ladro, per cui i valori di verità di $P$ e $Q$ non sono noti. Però possiamo fare delle ipotesi: se ad esempio il ladro fosse entrato dalla finestra del salotto, l’enunciato sarebbe vero? In tal caso avremmo che:

Non sarebbe entrato dalla finestra della camera da letto, quindi $P$ sarebbe falso, e $\lnot P$ sarebbe vero;
Non sarebbe entrato dalla porta d’ingresso, quindi $Q$ sarebbe falso, e $\lnot Q$ sarebbe vero;
Infine, la loro congiunzione $\lnot P \land \lnot Q$ sarebbe vera;
Quindi, se $P$ e $Q$ fossero entrambi falsi, $\lnot P \land \lnot Q$ sarebbe vero.

Facendo tutte le ipotesi possibili, quindi, possiamo indagare su come si comporta il valore di verità di $\lnot P \land \lnot Q$ a seconda di quelli di $P$ e $Q$ . Per rendere più agevole quest’analisi è possibile costruire una tavola di verità, ossia una tabella fatta in questo modo:

Le colonne sono tutti i passaggi necessari per ottenere l’enunciato a partire da quelli elementari di cui è fatto. Sulla sinistra ci sono le colonne degli enunciati elementari, e andando verso destra ci sono parti dell’enunciato sempre più complesse, fino all’ultima colonna, che contiene l’enunciato complessivo.
Nelle righe, in corrispondenza degli enunciati elementari, si inseriscono tutte le combinazioni dei loro valori di verità. Solitamente, invece di indicare i valori “vero” e “falso” per esteso, li si abbrevia rispettivamente in “V” e “F”, in modo da risparmiare spazio.
Per ogni riga, partendo dai valori di verità degli enunciati elementari, si calcolano man mano, da sinistra verso destra, i valori di verità dei vari passaggi intermedi, fino al valore di verità dell’enunciato complessivo.

Costruiamo la tavola di verità dell’enunciato $\lnot P \land \lnot Q$ da cui siamo partiti. Si tratta della congiunzione di due negazioni, che per comodità possiamo separare sotto forma di passaggi intermedi; le colonne della tabella saranno quindi:

$P$	$Q$	$\lnot P$	$\lnot Q$	$\lnot P \land \lnot Q$

Nelle righe, elenchiamo tutte le possibili combinazioni dei valori di verità degli enunciati elementari:

$P$	$Q$	$\lnot P$	$\lnot Q$	$\lnot P \land \lnot Q$
V	V
V	F
F	V
F	F

Calcoliamo il valore di verità di $\lnot P$ a partire da quello di $P$ . Sappiamo che una negazione è vera se l’enunciato di partenza è falso e viceversa, quindi si ottiene:

$P$	$Q$	$\lnot P$
V	V	F
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Analogamente, calcoliamo il valore di verità di $\lnot Q$ a partire da quello di $Q$ :

$P$	$Q$	$\lnot P$	$\lnot Q$
V	V	F	F
V	F	F	V
F	V	V	F
F	F	V	V

Infine, calcoliamo il valore di verità di $\lnot P \land \lnot Q$ a partire da quelli di $\lnot P$ e $\lnot Q$ . Sappiamo che una congiunzione è vera se i due enunciati che la compongono sono veri e falsa altrimenti, quindi si ottiene:

$P$	$Q$	$\lnot P$	$\lnot Q$	$\lnot P \land \lnot Q$
V	V	F	F	F
V	F	F	V	F
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

Se ora ci concentriamo solo sulle prime due colonne e sull’ultima, possiamo concludere che $\lnot P \land \lnot Q$ è vero solo quando $P$ e $Q$ sono entrambi falsi. Forse avremmo potuto intuirlo già dall’inizio, ma grazie alle tavole di verità possiamo fare lo stesso tipo di analisi anche per enunciati più complessi che è difficile studiare affidandosi solo all’intuizione, come vedremo tra poco.

Se abbiamo $N$ enunciati elementari, il numero di tutte le possibili combinazioni dei loro valori di verità è $2 ^ N$ . Ad esempio, per $N = 1$ , si hanno solo $2 ^ 1 = 2$ combinazioni:

$P$
V
F

Per $N = 2$ , come nell’esempio precedente, abbiamo $2 ^ 2 = 4$ combinazioni:

$P$	$Q$
V	V
V	F
F	V
F	F

Per $N = 3$ , abbiamo $2 ^ 3 = 8$ combinazioni:

$P$	$Q$	$R$
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

La tecnica generale è quindi la seguente:

si inseriscono $N$ colonne, pari a quanti sono gli enunciati elementari, e $2 ^ N$ righe;
si inserisce nella colonna dell’enunciato elementare più a destra un’alternanza di “vero” e “falso” fino a riempirla;
nella colonna che la precede si fa la stessa cosa, ma inserendo 2 “vero” consecutivi e 2 “falso” consecutivi per volta;
si ripete l’operazione nelle altre colonne raddoppiando man mano, verso sinistra, il numero di “vero” e “falso” consecutivi inseriti (4 nella terza colonna, 8 nella quarta, e così via).

Tavole di verità degli operatori logici

Le tavole di verità sono anche utili per rendere più evidente il comportamento degli operatori logici che conosciamo. L’esempio più semplice è quello della negazione, che opera su un solo enunciato e ha la seguente tavola di verità:

$P$	$\lnot P$
V	F
F	V

Per quanto riguarda invece la congiunzione, sappiamo che essa è vera solo se i due enunciati di partenza sono entrambi veri. Ciò è espresso dalla seguente tavola di verità:

$P$	$Q$	$P \land Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

La tavola di verità della disgiunzione ha invece più casi veri nell’ultima colonna perché, come sappiamo, una disgiunzione è vera quando uno qualunque dei due enunciati di partenza è vero, o anche quando sono veri entrambi:

$P$	$Q$	$P \lor Q$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Infine abbiamo la tavola di verità dell’implicazione, che sappiamo che è falsa quando l’antecedente è vero e il conseguente è falso, e vera altrimenti:

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Queste tavole di verità sono quindi una rappresentazione di ciò che già conosciamo sugli operatori logici; la differenza è che, mentre prima il comportamento degli operatori logici poteva sembrare qualcosa di astratto, con le tavole di verità c’è una struttura dove si definisce precisamente il comportamento di un operatore logico in tutti i possibili casi.

Tavole di verità per individuare tautologie e contraddizioni

Come abbiamo visto, lo scopo principale delle tavole di verità è determinare il comportamento del valore di verità di un enunciato in base a quelli degli enunciati elementari di cui è formato. In base a questo principio, è possibile usarle anche per verificare se l’enunciato ha certe caratteristiche, ad esempio se è una tautologia: sappiamo che le tautologie sono sempre vere, quindi la loro tavola di verità conterrà sempre “vero” nell’ultima colonna. Se costruiamo ad esempio la tavola di verità di $P \lor \lnot P$ :

$P$	$\lnot P$	$P \lor \lnot P$
V	F	V
F	V	V

possiamo vedere che l’ultima colonna contiene solo il valore “vero”, quindi $P \lor \lnot P$ è sempre vera indipendentemente dal valore di verità di $P$ , ossia è una tautologia.

Analogamente si può verificare se un enunciato è una contraddizione: in questo caso, dato che le contraddizioni sono sempre false, l’ultima colonna conterrà solo il valore “falso”. Ad esempio, questa è la tavola di verità della contraddizione più semplice, $P \land \lnot P$ :

$P$	$\lnot P$	$P \land \lnot P$
V	F	F
F	V	F

Come abbiamo visto, l’uso delle tavole di verità è un processo molto schematico e meccanico, tanto da assomigliare a un calcolo numerico. Questo non è un caso, ma è una conseguenza del principale obiettivo della logica matematica: formalizzare il processo di ragionamento (matematico e non) in modo che sia il meno possibile soggetto a diverse interpretazioni e ad errori.

Esercizi

Qual è la tavola di verità corretta per l’enunciato $P \land \lnot Q$ ?

$P$	$Q$	$\lnot Q$	$P \land \lnot Q$
V	V	F	F
V	F	V	V
F	V	F	F
F	V	F	F

$P$	$Q$	$\lnot Q$	$P \land \lnot Q$
V	V	F	F
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	V	V

$P$	$Q$	$\lnot Q$	$P \land \lnot Q$
V	V	F	F
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	V	F

Date le seguenti tavole di verità, qual è l’affermazione corretta?

$P$	$Q$	$\lnot Q$	$P \lor \lnot Q$
V	V	F	V
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	V	V

$P$	$Q$	$\lnot P$	$\lnot P \land Q$
V	V	F	F
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	F

$P \lor \lnot Q$ e $\lnot P \land Q$ sono contraddizioni

$(P \lor \lnot Q) \land (\lnot P \land Q)$ è una tautologia

$P$	$Q$	$P \lor \lnot Q$	$\lnot P \land Q$	$(P \lor \lnot Q) \land (\lnot P \land Q)$
V	V	V	F	F
V	F	V	F	F
F	V	F	V	F
F	F	V	F	F

$P \lor \lnot Q$ è la negazione di $\lnot P \land Q$

La logica, Maradona e il VAR

Tramite una tavola di verità, possiamo calcolare il valore di verità di una regola in base a quelli degli enunciati elementari di cui è composta, e quindi capire come la regola si comporta in base a essi, in tutte le situazioni possibili. Iniziamo con il tradurre la nostra regola (“Se durante l’azione che ha portato a un gol si è verificato un fallo, ed è stato riscontrato dall’arbitro o rilevato dal VAR, il gol è nullo, altrimenti viene considerato valido.”) in simboli, definendo:

$P = \text{durante l'azione che ha portato a un gol si è verificato un fallo}$ ;

$Q = \text{(il fallo) è stato riscontrato dall'arbitro}$ ;

$R = \text{(il fallo è stato) rilevato dal VAR}$ ;

$S = \text{il gol è nullo}$ .

Possiamo intepretare “viene considerato valido” come la negazione di $S$ , quindi otteniamo:

((P \land (Q \lor R)) \Rightarrow S) \lor \lnot S

La tavola di verità è la seguente:

$P$	$Q$	$R$	$S$	$Q \lor R$	$P \land (Q \lor R)$	$((P \land (Q \lor R)) \Rightarrow S)$	$\lnot S$	$((P \land (Q \lor R)) \Rightarrow S) \lor \lnot S$
V	V	V	V	V	V	V	F	V
V	V	V	F	V	V	F	V	V
V	V	F	V	V	V	V	F	V
V	V	F	F	V	V	F	V	V
V	F	V	V	V	V	V	F	V
V	F	V	F	V	V	F	V	V
V	F	F	V	F	F	V	F	V
V	F	F	F	F	F	V	V	V
F	V	V	V	V	F	V	F	V
F	V	V	F	V	F	V	V	V
F	V	F	V	V	F	V	F	V
F	V	F	F	V	F	V	V	V
F	F	V	V	V	F	V	F	V
F	F	V	F	V	F	V	V	V
F	F	F	V	F	F	V	F	V
F	F	F	F	F	F	V	V	V

Nell’ultima colonna il valore è sempre “vero”, quindi l’enunciato è una tautologia. Questo significa che la regola prevede, come è giusto che sia, tutte le situazioni possibili. Tutte le regole universali dovrebbero essere delle tautologie: pensiamo ad esempio alla famosa tautologia “essere o non essere”, che ovviamente è vera in ogni condizione. La nostra regola è abbastanza complessa, ma grazie alle tavole di verità abbiamo verificato che si tratta di una tautologia, quindi di una regola universale.

Le tavole di verità

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Tavole di verità degli operatori logici

Tavole di verità per individuare tautologie e contraddizioni

Esercizi

La logica, Maradona e il VAR

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Tautologia

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