L’implicazione

Cos’è l’implicazione?

Quando si ha a che fare con definizioni e proprietà matematiche, e non solo, ci si trova spesso di fronte a enunciati che esprimono un rapporto di causa ed effetto tra due situazioni. Prendiamo questo esempio:

Se piove, la strada si bagna

Stiamo partendo da una premessa, o antecedente, (piove) e, quando essa è valida nella situazione in cui ci troviamo (cioè quando piove), arriviamo a una conclusione, o conseguente (la strada si bagna). Intuitivamente sappiamo che è così, perché, quando piove, la pioggia cade dappertutto, anche sulle strade, che quindi si bagnano… eppure c’è dell’altro. Per capire come stanno davvero le cose, facciamo tutte le possibili supposizioni su cos’è successo in un dato momento, ossia sul valore di verità di antecedente e conseguente, e vediamo cosa possiamo dedurre:

• Supponiamo che abbia piovuto: sappiamo che se piove la strada si bagna, quindi sicuramente la strada è bagnata.
• Supponiamo che la strada non sia bagnata: quindi sicuramente non ha piovuto, perché, se avesse piovuto, la strada si sarebbe bagnata.
• Supponiamo che non abbia piovuto: in questo caso l’informazione è insufficiente per sapere se la strada è bagnata. Potrebbe infatti esserlo per motivi diversi dalla pioggia, ad esempio perché è appena passato il furgone che lava le strade, o c’è una perdita da una tubatura, e così via.
• Supponiamo che la strada sia bagnata: analogamente al caso precedente, potrebbe essere perché ha piovuto o per altri motivi.
• Infine, supponiamo che abbia piovuto ma la strada non sia bagnata. Vorrebbe dire che non è vero che ogni volta che piove la strada si bagna, e quindi l’enunciato da cui siamo partiti non sarebbe vero.

La logica ci permette di formalizzare gli enunciati come questo in modo preciso tramite un operatore logico specifico, l’implicazione, che viene appunto usata per indicare che un enunciato è la causa di un altro. In simboli, dati due enunciati P e Q, la loro implicazione si indica con:

P \Rightarrow Q

che si legge “P implica Q“, oppure “Se P allora Q“. Questo enunciato matematico, ad esempio:

Se 10 è maggiore di 5, allora è anche maggiore di 2

si indica con

10 \gt 5 \Rightarrow 10 \gt 2

L’implicazione può essere combinata anche con altri operatori logici, ad esempio:

Se un numero è primo ed è diverso da 2, allora non è pari

in cui abbiamo combinato l’implicazione con congiunzione e negazione.

Se un’implicazione è vera, cosa si può dedurre?

Nell’esempio iniziale abbiamo visto come, partendo da un’implicazione che sappiamo essere vera, è possibile fare deduzioni relativamente ai valori di verità di antecedente e conseguente:

• Se l’antecedente è vero, il conseguente è vero;
• Se il conseguente è falso, l’antecedente è falso;
• Se l’antecedente è falso, non sappiamo dire nulla relativamente al valore di verità del conseguente;
• Analogamente, se il conseguente è vero, non sappiamo dire nulla relativamente al valore di verità dell’antecedente.

Le prime due regole, detti rispettivamente modus ponens e modus tollens, possono essere usate per costruire, tramite catene di implicazioni successive, ragionamenti anche complessi.

Quando un’implicazione è vera o falsa?

Quando si utilizza il simbolo di implicazione per collegare due enunciati P e Q, il risultato, P \Rightarrow Q è a tutti gli effetti un nuovo enunciato, che quindi a sua volta può essere vero o falso. È importante determinare se un’implicazione è vera, perché altrimenti, se la usassimo in un ragionamento, ci porterebbe a risultati senza senso.

Banalmente, un’implicazione è sicuramente vera quando dice qualcosa che già sappiamo: ad esempio che se un numero è dispari non è divisibile per 2, o che se un poligono ha 3 lati allora è un triangolo… ma non è detto che sia così facile scoprire se un’implicazione è vera.

Se abbiamo almeno a disposizione i valori di verità degli enunciati che la formano, diventa possibile applicare il principio secondo cui un fatto può essere supposto vero fino a prova contraria.

Applicando il principio dell’insufficienza di prove, possiamo quindi affermare che, in generale, vale questa regola:

Un’implicazione è falsa se l’antecedente è vero e il conseguente è falso; altrimenti essa è vera.

Esercizi

Cecco Angiolieri e l’implicazione

Il testo poetico all’inizio dell’articolo può essere visto come una serie di implicazioni unite tra loro da disgiunzioni. Ovviamente l’autore non è né fuoco, né vento, né acqua e così via, quindi tutte le implicazioni, tranne l’ultima, hanno la premessa falsa, quindi sono sicuramente vere. Sull’ultima, in particolare, sappiamo che la premessa è vera (perché Cecco è sicuramente Cecco…), ma in teoria non possiamo essere certi del valore di verità della conclusione, quindi, in linea di principio, non possiamo sapere se l’ultima implicazione è falsa. Questo è uno di quei casi in cui non avremmo informazioni sufficienti per dire se l’ultima implicazione è vera, a meno che non si vada a consultare altre fonti letterarie dell’epoca.