Gli operatori logici di base: congiunzione, disgiunzione e negazione

Formalizzare gli enunciati matematici

Il linguaggio matematico è in grado di esprimere concetti complessi con pochi simboli. Prendiamo ad esempio questo enunciato, che dice che 7 è compreso tra 3, escluso, e 10, incluso:

Potremmo esprimere l’enunciato anche in termini diversi: 7 è maggiore di 3 ed è minore o uguale a 10. Visto in questo modo, possiamo vederlo come la combinazione di tre enunciati: 7 \gt 3, 7 \lt 10, 7 = 10, uniti da quelle che in grammatica si chiamano congiunzioni.

In logica, l’equivalente delle congiunzioni sono gli operatori logici, espressi tramite appositi simboli, che permettono appunto di combinare enunciati semplici, o atomici, per comporne altri più complessi. Tramite gli operatori logici si riesce ad andare oltre le possibilità offerte dai soli simboli matematici: ad esempio, senza usare gli operatori logici, sarebbe impossibile tradurre in simboli l’enunciato 31 è diverso da 3 ed è maggiore di 20.

Congiunzione

L’operatore di congiunzione, che si indica con il simbolo \land, serve a costruire, a partire da due enunciati, un nuovo enunciato che è vero quando sono veri entrambi, e falso altrimenti. Ad esempio, l’enunciato precedente può essere espresso come la congiunzione degli enunciati 31 \neq 3 e 31 \gt 20 in questo modo:

Disgiunzione

L’operatore di disgiunzione è abbastanza particolare, perché ne esistono di due tipi. Supponiamo di avere questo enunciato non matematico:

Andrò in vacanza a mare oppure in montagna

Esso presenta un’ambiguità: è ammesso che io possa fare entrambe le cose o no? La questione è più seria di quel che sembri, perché la logica, che funziona come un calcolo, non permette ambiguità come questa. Per questo motivo, in logica esistono due simboli diversi per indicare come stiamo interpretando l'”oppure”:

• La disgiunzione inclusiva, indicata con il simbolo \lor, che è vera quando almeno uno degli enunciati di partenza è vero, e che quindi ammette che possano essere veri entrambi;
• La disgiunzione esclusiva, indicata con più simboli, alcuni dei quali sono \oplus, \not\equiv, \veebar, \mathbin{\dot{\lor}} (qui e nel seguito useremo quest’ultimo); essa è vera quando solo uno dei due enunciati di partenza è vero, e falsa altrimenti, quindi non ammette che possano essere veri entrambi.

Una volta che, chiarito il contesto dell’enunciato, siamo riusciti a stabilire cosa intendiamo con quell'”oppure”, usando il simbolismo logico potremmo riscriverlo come:

• Andrò in vacanza a mare \lor andrò in vacanza in montagna, per indicare che potrei fare una delle due cose o anche entrambe;
• Andrò in vacanza a mare \mathbin{\dot{\lor}} andrò in vacanza in montagna, per indicare che sceglierò una sola meta.

Negazione

L’operatore di negazione, che si indica con il simbolo \lnot, serve a trasformare un enunciato nel suo opposto, che è falso se è vero l’enunciato di partenza, e viceversa. Partendo ad esempio da questo enunciato, che è vero:

il suo opposto, che è falso, è:

Alcune proprietà importanti

Doppia negazione

Come accade in grammatica, in cui la frase non puoi non riuscirci è la stessa cosa che dire puoi riuscirci, anche per gli operatori logici vale la regola secondo cui due negazioni affermano. Dato un generico enunciato P, cioè, si ha:

Ad esempio:

Leggi di De Morgan

Il matematico e logico britannico Augustus De Morgan, basandosi su una serie di osservazioni di studiosi precedenti tra cui il greco Aristotele, formulò due importanti regole, note come leggi di De Morgan, che permettono di passare da congiunzioni a disgiunzioni e viceversa. Dati due generici enunciati P e Q, si ha:

Ad esempio:

• dire che Il vincitore della gara non è uno dei primi due vincitori dello scorso anno è la stessa cosa che dire Il vincitore dalla gara non è né il primo vincitore dello scorso anno, né il secondo.
• dire che Carlo non è un ingegnere di Milano è la stessa cosa che dire Carlo non è un ingegnere o non è di Milano.

Proprietà distributiva di congiunzione e disgiunzione

Sappiamo che, in matematica, vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, cioè che a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c. In logica, la congiunzione e la disgiunzione inclusiva si comportano allo stesso modo. Infatti, dati tre enunciati P, Q e R, si ha:

che è chiamata appunto proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione inclusiva.
Ad esempio, la frase domani mi metterò il vestito nuovo e andrò al cinema o a teatro è equivalente a domani mi metterò il vestito nuovo e andrò al cinema, o mi metterò il vestito nuovo e andrò a teatro.

La somiglianza con le espressioni aritmetiche però si ferma qui, perché sappiamo che in matematica non vale la proprietà distributiva dell’addizione rispetto alla moltiplicazione – ad esempio 2 + (3 \cdot 4) \neq (2 + 3) \cdot (2 + 4) – mentre in logica vale la proprietà distributiva della disgiunzione inclusiva rispetto alla congiunzione, che è la stessa di prima ma con i simboli logici invertiti:

Ad esempio, le due frasi seguenti sono equivalenti:

• Gli indizi trovati dagli investigatori nel complesso suggeriscono che il colpevole potrebbe essere il maggiordomo, oppure una donna di alta statura.
• Alcuni indizi trovati dagli investigatori suggeriscono che il colpevole potrebbe essere o il maggiordomo o una donna; gli altri indizi suggeriscono che il colpevole potrebbe essere o il maggiordomo o una persona di alta statura.

Tautologie e contraddizioni

Supponiamo di avere un enunciato P qualsiasi. A partire da esso, possiamo costruire il seguente enunciato:

Un enunciato di questo tipo ha una particolarità: è sempre vero, qualunque sia l’enunciato P! Ecco alcuni esempi:

• (10 = 3) \lor (10 \neq 3)
• (20 \gt 10) \lor (20 \leq 10)
• Domani andrò a scuola oppure non ci andrò

Gli enunciati che hanno questa caratteristica si chiamano tautologie, e, come si può immaginare, non aggiungono nulla al ragionamento di cui fanno parte.

Il caso opposto sono le contraddizioni, ossia quegli enunciati che sono sempre falsi. Il più delle volte essi sono del tipo seguente:

Ad esempio:

• (10 = 3) \land (10 \neq 3)
• (20 \gt 10) \land (20 \leq 10)
• Domani andrò a scuola e non ci andrò

Come dice la parola stessa, la contraddizione è composta da enunciati che si contraddicono, ossia che sono uno l’opposto dell’altro. Se in un ragionamento logico si ottiene una contraddizione, è un campanello d’allarme, perché significa che qualcosa non va negli enunciati che stiamo manipolando, o nelle premesse da cui siamo partiti, o nei passaggi intermedi; approfondiremo questo aspetto più avanti.

Altri esercizi

La nave che fluttua: cosa c’è dietro?

L’effetto all’origine della foto è noto come Fata Morgana, ed è dovuto al fatto che la luce, quando passa da strati di aria a temperature molto diverse tra loro, viene deviata: nel caso della foto, la nave si trova in realtà sotto l’orizzonte, e quindi non dovrebbe neanche essere visibile, mentre questo fenomeno fa sì che la sua immagine appaia sollevata, e quindi la nave sembra fluttuare sopra l’orizzonte. Una situazione contraddittoria come questa ha origine dalla differenza tra la conoscenza comune, fondata sul buon senso, e ciò che si vede, che in questo caso è dovuto alla fisica.

Le contraddizioni logiche sono l’equivalente matematico delle illusioni ottiche come quella della foto: quando se ne trova una, come abbiamo visto, è necessario indagare su cosa le ha causate. Come vedremo in seguito, in alcuni casi le contraddizioni possono anche essere sfruttate a nostro vantaggio…