Numeri primi e fattorizzazione
I motivi pratici alla base di tale scelta sono molto antichi: l’idea fu adottata dai babilonesi circa 4000 anni fa.
Eppure, il 5 ottobre 1793, in piena Rivoluzione Francese, si tentò un’altra strada. A seguito di una proposta da parte dell’ufficiale Jean-Charles de Borda, fu emanato un curioso decreto:
“Il giorno, da mezzanotte a mezzanotte, è diviso in dieci parti, ogni parte in altre dieci e così via fino alla più piccola porzione misurabile di tempo.”
L’orologio decimale sul frontone di Palazzo Einaudi a Chivasso (TO)
Fu così che, nella Francia rivoluzionaria, fu introdotto il “giorno decimale”, diviso in 10 “ore decimali”, divise in 10 “minuti decimali”, divisi a loro volta in 10 “secondi decimali”. Sarebbe stata una… rivoluzione nella rivoluzione, ma ben presto il decreto decadde, perché era ben chiaro che la suddivisione originaria, in cui il giorno era diviso in 24 ore, l’ora in 60 minuti e il minuto in 60 secondi, era molto più comoda da usare. Ma quindi, cos’ha di speciale il numero 60? La risposta è strettamente collegata alla scomposizione in fattori primi, che andremo qui ad esporre.
Cos’è un numero primo?
Un numero primo è un numero intero positivo maggiore di 1 divisibile solo per 1 o per sé stesso.
Per verificare se un numero sia primo, possiamo provare a dividerlo per tutti gli altri numeri, escluso 1, minori di sé stesso. Se non fosse primo, allora, per almeno uno di essi, dovremmo avere come risultato un numero non decimale.
Dividiamo per 2: \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2} = 2,5
Dividiamo per 3: \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 3} \approx 1,67
Dividiamo per 4: \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 4} = 1,25
Abbiamo sempre ottenuto come risultato un numero decimale: abbiamo quindi verificato che 5 è primo.
Verifichiamo se il numero 15 è primo:
Dividiamo per 2: \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 2} = 7,5
Dividiamo per 3: \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 3} = 5
L’ultima divisione ha dato come risultato un numero intero, quindi 15 non è primo.
Sebbene tale definizione possa sembrare elementare o di poco interesse, i numeri primi sono una categoria di numeri molto importante, ancora fonte di studi e curiosità in ambito matematico.
Alcuni numeri primi da ricordare
I numeri primi sono infiniti, ma è facile memorizzare i primi dieci:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31 …
La prima dimostrazione che i numeri primi sono infiniti viene accreditata a Euclide, un matematico greco vissuto più di 2000 anni fa!
Criteri di divisibilità
In questa sezione vengono mostrati i criteri di divisibilità per i numeri primi da 2 a 11. Esistono criteri di divisibilità per numeri primi più grandi, ma richiedono molti passaggi e calcoli più lunghi, che si allontanano dallo scopo di illustrare la scomposizione in fattori primi. Per verificare se un numero è divisibile per un altro è ovviamente possibile anche effettuare la divisione e verificare se il risultato è un numero intero, ma spesso usare i criteri di divisibilità è più comodo.
Divisibilità per 2
Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è 0, 2, 4, 6 oppure 8, ossia se è pari.
Il numero 5593 non è divisibile per 2 perchè la sua ultima cifra è 3, per cui non è nessuna tra 2, 4, 6 oppure 8.
Divisibilità per 3
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle cifre che lo compongono è 3 o un suo multiplo.
Divisibilità per 5
Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5.
Il numero 3557 non è divisibile per 5, perché la sua ultima cifra è 7, quindi non è né 0 né 5.
Divisibilità per 7
Dal numero 7 in poi i criteri di divisibilità diventano meno immediati e più laboriosi. Per verificare la divisibilità per 7 serve effettuare questi passaggi:
- Si scrive il numero senza l’ultima cifra;
- Si prende l’ultima cifra da sola e la si raddoppia;
- Si effettua la sottrazione dei due numeri ottenuti (il primo meno il secondo);
- Si verifica se il risultato ottenuto è divisibile per 7. Se il numero è 70 o meno si può usare la tabellina moltiplicativa, altrimenti il procedimento va ripetuto.
L’ultima cifra, presa da sola, è 5, che, raddoppiata, diventa 10.
Eseguiamo la sottrazione tra i due numeri ottenuti: 38 – 10 = 28.
Il numero ottenuto è 70 o meno: verifichiamo quindi se si trova nella tabellina moltiplicativa del 7, da cui otteniamo che 28 = 7 · 4, per cui 28 è divisibile per 7.
Quindi, 385 è divisibile per 7.
Il numero 2877 è divisibile per 7.
L’ultima cifra, presa da sola, è 7, che, raddoppiata, diventa 14.
Eseguiamo la sottrazione tra i due numeri ottenuti: 287 – 14 = 273.
Ora dobbiamo capire se 273 è divisibile per 7. Essendo maggiore di 70, non possiamo usare la tabellina moltiplicativa del 7, per cui è necessario ripetere il procedimento.
Il numero 273, senza l’ultima cifra, diventa 27.
L’ultima cifra, presa da sola, è 3, che, raddoppiata, diventa 6.
Eseguiamo la sottrazione tra i due numeri ottenuti: 27 – 6 = 21.
Il numero ottenuto è 70 o meno, e sappiamo dalle tabelle moltiplicative che 21 = 7 · 3, quindi 273 è divisibile per 7.
Quindi, a sua volta, 2877 è divisibile per 7.
Il numero 3781 non è divisibile per 7.
L’ultima cifra, presa da sola, è 1, che, raddoppiata, diventa 2.
Eseguiamo la sottrazione tra i due numeri ottenuti: 378 – 2 = 376.
Ora dobbiamo capire se 376 è divisibile per 7. Essendo maggiore di 70, non possiamo usare la tabellina moltiplicativa del 7, per cui è necessario ripetere il procedimento.
Il numero 376, senza l’ultima cifra, diventa 37.
L’ultima cifra, presa da sola, è 6, che, raddoppiata, diventa 12.
Eseguiamo la sottrazione tra i due numeri ottenuti: 37 – 12 = 25.
Il numero ottenuto è 70 o meno, ma non si trova nella tabellina moltiplicativa del 7, quindi non è divisibile per 7.
Quindi, 376 non è divisibile per 7.
Quindi, a sua volta, 3781 non è divisibile per 7.
Divisibiltà per 11
Per verificare la divisibilità per 11 serve effettuare questi passaggi:
- Si sommano le cifre in posizione dispari a partire da sinistra (quindi la prima, la terza, e così via);
- Si sommano le cifre in posizione pari a partire da sinistra (quindi la seconda, la quarta, e così via);
- Si effettua la sottrazione dei due numeri ottenuti (il più grande dei due meno il più piccolo);
- Si verifica se il risultato ottenuto è 0 o è divisibile per 11. Se il numero è 110 o meno si può usare la tabellina moltiplicativa, altrimenti il procedimento va ripetuto.
Sommiamo seconda, quarta e sesta cifra: 4 + 2 + 1 = 7.
Eseguiamo la sottrazione: 18 – 7 = 11.
Ovviamente 11 è divisibile per 11.
Quindi, a sua volta, 247291 è divisibile per 11.
Il numero 191719 è divisibile per 11.
Sommiamo seconda, quarta e sesta cifra: 9 + 7 + 9 = 25.
Eseguiamo la sottrazione: 25 – 3 = 22.
Il numero ottenuto è 110 o meno, e sappiamo dalle tabelle moltiplicative che 22 = 11 · 2, quindi 22 è divisibile per 11.
Quindi, a sua volta, 191719 è divisibile per 11.
Il numero 371 non è divisibile per 11.
La seconda cifra è 7. In questo caso non ci sono altre cifre da sommare.
Eseguiamo la sottrazione: 7 – 4 = 3.
Il numero ottenuto è 110 o meno, ma non si trova nella tabellina moltiplicativa dell’11, quindi non è divisibile per 11.
Quindi, a sua volta, 371 non è divisibile per 11.
Fattorizzazione
Scrivere un numero intero come prodotto di numeri primi è un’operazione chiamata fattorizzazione.
Per fattorizzare numeri piccoli, possiamo spesso cavarcela con le tabelline moltiplicative; quando esse non sono sufficienti, o per numeri più grandi, dobbiamo fare affidamento ai criteri di divisibilità.
Una notazione utile per fattorizzare facilmente un numero è quella di disegnare una piccola tabella di due colonne. Nella prima riga della colonna a sinistra scriviamo il numero che vogliamo scomporre.
Dopo aver stabilito un numero primo che è divisore del numero a sinistra, lo scriviamo nella colonna di destra, eseguiamo la divisione e scriviamo il risultato nella colonna a sinistra sotto il numero precedente. Si prosegue finché l’ultimo numero a sinistra è 1.
Possiamo infine scrivere il numero di partenza come prodotto di tutti i numeri nella colonna a destra.
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Da cui 60 = 22 · 3 · 5
Perché un’ora è fatta di 60 minuti?
Il numero 60 ha molti divisori, il che ci consente di poter suddividere un’ora in tanti intervalli di tempo diversi senza dover effettuare approssimazioni. Potete voi stessi verificare che:
Da cui si deduce che possiamo dividere un’ora in intervalli da 2, 3, 5, 10, 15, 20 oppure 30 minuti! Un’idea talmente efficace da essere tutt’oggi ritenuta più che ottimale per misurare il tempo delle nostre giornate.
Numero intero
I numeri interi sono quelli scritti senza cifre decimali, ovvero senza la virgola.Divisibilità
Equivalentemente, la relazione si può anche esprimere dicendo che b è divisore di a.
Potenze
L'operazione di moltiplicare un numero per se stesso più volte può essere scritto in maniera più concisa come una potenza. L'esponente indica quante volte il numero è stato moltiplicato per se stesso.8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 8^4. L'esponente di 8 è 4 poiché 8 è moltiplicato per se stesso quattro volte.
